面對真實世界中「收入不均」的問題，有時也希望拿張「均富卡」來解決，然而均富卡是虛幻的，要改善這種狀況，必需有良好的法令及稅制。不過在研究什麼是好的法規前，也許我們要搞清楚一個更根本的問題：怎樣的收入分配才算公平？
這個問題不好回答，但可確定均富卡式的齊頭平等並非好答案。就像去應徵工作時，不會期望當保全和當CEO會有同樣的收入。而且回答這個問題很容易得罪人，所以當政治人物被問到「怎樣的收入分配才是公平？」時，最佳的回覆或許是「我們需要社會有一定的共識，而且要有完整的配套及過渡，用謹慎的態度面對這個問題。」
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| 這樣公平嗎？ credit:Marina Noordegraaf |
如果你對政治式的回答不滿意，不妨看看哥倫比亞大學化工系的Venkatasubramanian教授和工業工程系的Sethuraman教授如何用「統計力學」的方法來尋求答案。
(謎之音：Venkatasubramanian教授的姓也太長了吧！)
看到「統計」二字，首先聯想到馬克吐溫所說的：「謊言，該死的謊言及統計數字」。不過「統計力學」其實和「統計學」是完全不同的概念，『統計力學是藉由配分函數將有大量組成成分系統中微觀物理狀態與宏觀物理量統計規律連結起來的科學』。雙引號內的這句話繼拗口又難懂，好在中文的世界博大精深，可用成語解釋之，統計力學就是一個「觀微知著」的科學。
比方說，觀察一枚銅板(觀微)，知道它擲出後有一半的機率是人頭朝上(正面)，另一半機率是數字朝上(反面)，就可以推論出丟個二枚銅板時，出現兩個正面或兩個反面的機率各是1/4，而出現一正一反的機率是1/2(知著)。
此問題由統計力學的角度觀之，牽涉到一個較為抽象的概念，謂之「熵」。「熵」的大小取決於系統所包含的狀態數，一個封閉系統的「熵」通常只增不減，當「熵」達到最大值時，系統即處於統計上最可能出現的狀態，或稱為平衡態。以二枚銅板的系統為例，一正一反的狀態數為2 (正反、反正)，二個正面或二個反面的狀態數各為1，故一正一反是此系統最可能出現的情況。「熵」的概念在丟銅板的問題中顯得有些多餘，但面對更繁雜的系統時，「熵」是不可或缺的思考工具。
統計力學發展之初，乃用於解釋熱力學中關於氣體分子運動的問題。科學家用類似丟銅板的概念加上複雜許多的數學，可以從一個氣體粒子該處於何種能量態的角度出發，推導出平衡態時，一團理想氣體在給定溫度下，各個分子的速率分布狀況，稱之為「波茲曼分布」。
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| 惰性氣體的波茲曼分布圖 圖片來源：wikipedia |
Venkatasubramanian等人建立的自由市場模型，則是推導出資方總薪水預算不變的狀況下，一群勞工薪水所得的分布狀況。統計力學能在此發揮作用，是因為模型中勞工的行為模式，可與熱力學中的氣體分子類比：
在熱力學所謂的理想氣體中，每個氣體分子可於限定的體積內自由的移動，而此自由市場模型中的每個勞工，也可於職缺間自由轉換；兩個理想氣體分子在相護碰撞時，其中一個分子的能量會轉移到另一個分子上，同樣的，在總薪資不變的前提下，當兩個勞工職缺異動時，很可能是其中一員薪水增加，而另一員減少。
不過氣體分子是隨機運動的，而勞工則時時刻刻想謀取更佳的職位。
模型中假設勞工謀職的考量主要有三個因素：「薪水」、「勞動成本」和「公平性」。其中薪水扣除勞動成本的餘額越高，對勞工越有吸引力。「薪水」無需解釋，「勞動成本」除了包含了工時及勞動力等顯性成本外，亦包含練就工作專業所需投入的心血。因此在這個模型中，高薪的職務勞動成本也會提高，與現實生活中需要寒窗苦讀才能從事高薪專業的工作很像。
「公平性」則要舉列說明：假設甲、乙兩人分別是兩間鍋貼店的員工，他們每小時都可以做出60個鍋貼，得到的薪水也相同。若甲同事們每小時也是做出60個鍋貼，但乙的其他同事每小時卻只能做30個鍋貼，那麼就會導致「甲」安於工作，而「乙」想要另謀他職，即便他們的薪水和勞動成本的差額其實是一樣的。
依此模型推算，若這個自由市場運作正常，也就是說沒有惡性倒閉的老闆也沒有靠關係不做事的員工，那麼當每位勞工感到公平時，即此系統的平衡態。換句話說，「公平性」是這個系統的「熵」，當「公平性」最大化時，系統就穩定了。此外，研究論文也指出這個平衡態，就是賽局理論中的「奈許均衡點」。
在平衡態時，勞工人數對應薪水會呈現「對數常態分布」，大多數的勞工領取略低於平均的薪水，少部份的人領取高薪，大體而言，薪資最高的Top 10%之人，會領走總薪資中25%左右的薪水，其餘的90%勞工會則領走剩下的75%。
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| 對數常態分布圖(示意) |
只要那Top 10%的人真的是靠自已付出的勞動成本，而不是靠爸，來獲取高薪，那麼這樣的薪資分配應該是公平的。不過我們還是會懷疑，這種純理論的模型真的能反映現實世界的公平嗎？為了要解釋這方面的疑惑，研究人員搜集了十二個國家的人民所得資料，將之套入此模型的數學架構，分析出各國勞工收入分配的公平程度，排名依續為：挪威、瑞典、丹麥、瑞士、荷蘭、澳洲、法國、德國、日本、加拿大、英國和美國。
北歐各國名列前矛，而美國亦不復邪惡資本主義的名聲勇奪到數第一。這和您心中的印象是否一樣呢？
可惜館主統計力學沒學好，手邊也沒適當的資料，否則真想看看台灣的收入分配會落在排名中的哪個位置哩！
參考資料：
Venkatasubramanian, Venkat, Yu Luo, and Jay Sethuraman. "How much inequality in income is fair? A microeconomic game theoretic perspective."Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 435 (2015): 120-138.
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