力拔山河電話簿

過去，家家戶戶都備有一本的「電話簿」，它曾是地表上最厚的印刷品之一，香港皇家警察會用它來審問犯人(請參見電影逃學威龍2)，地方媽媽則靠它查詢電話號碼。而今皇家警察不復再，要查詢地方媽媽的電話號碼多半辜狗一下就有，造成電話簿的存在感越來越低，越印越薄，被淘汰似乎只是早晚的問題。

雖然查詢電話的功能可能被取代，電話簿身為「物理學教具」的地位，卻不會輕易地動搖。把兩本相對的電話簿一頁一頁地交疊在一起，再向兩側拉，怎麼拉也拉不開，這是許多人認識「摩擦力」的第一課。

credit:Danny Nicholson

Discovery頻道熱門節目「流言終結者」，有一集就在探究這個現象。他們以夾具固定兩電話簿的書脊以方便施力，嘗試了兩人互拉、數人拔河及兩輛轎車互拉等方式，都無法拉開交疊的電話簿。最終，節目大手筆地請來兩台坦克車，施加到8000磅力的拉力時，兩本電話簿終於分開了，但比較像是因電話簿結構崩裂而分離，而非克服摩擦力拉開。

隨手拿起兩本書，就可以對這個現象做實驗。我們發現兩書交疊10頁時，不費吹灰之力就可以拉開；交疊100頁時，幾乎就拉不開了。另外，當兩本書交疊面越深時，也會越難拉開。

複習一下物理公式，「摩擦力=摩擦係數 × 正向力」。摩擦係數僅與接觸面的材質有關，這代表頁數增加會產生更多正向力，讓兩本書難以拉開。可是紙又不重，哪來那麼多正向力？此外，公式告訴我們摩擦力與接觸面積無關，所以當兩本書交疊地越深時，雖然接觸面積增加，應該不會影響到摩擦力吧！？

到底是情愛的糾葛、命運的糾纏、金錢的誘惑還是利益的衝突？這樣一個簡單的交疊，卻讓兩個電話簿墜入巨大的摩擦。究~竟~事情的真相隱藏著什麼不為人知的秘密呢？讓我們看下去。

法國的物理學家Hector Alarcon等人對這個問題認真了，他們推導出描述交疊電話簿之摩擦力的數學公式，並以實驗數據驗證公式的正確性，研究成果於2015年8月預先發表在arXive網站上。

事情的真相其實很簡單，當兩書交疊時，其中間部位要比兩端的書脊處來得厚，每張書頁從書脊延伸至交疊處時，會產生一個傾角。施力往外拉時，書頁繃緊造成傾角變小，產生向內壓的正向力，進而增加摩擦力。因此拉力越大，摩擦力也越大，交疊電話簿儼然是個遇弱則弱，遇強則強的狠角色！

另一方面，當原始傾角越大時，內壓產生的正向力也會越明顯。增加交疊頁數或加深交疊間距都會讓傾角變大，因此讓摩擦力增加。實驗指出，當交疊頁數增加10倍時，兩書可承擔拉力會提升10000倍，比指數增長(Exponential growth)還劇烈。

(a)交疊的電話簿可以提起一輛轎車。(b)實驗機構。(c)交疊電話簿之力學分析示意圖
圖片來源：arXive (圖片源自該論文)

其實，在此之前已有許多人提出相同的解釋，包含一些科學網站上的討論串。然而，這些解釋多半只是約略的論述，並參雜其他似是而非的假設(比如說大氣壓力或交疊重量等因素)。直到Hector Alarcon等人的研究，才讓這個舉世聞名的未解之迷，有了嚴謹的論證。

有了科學論證，以後向孩子們說明團結的重要時，別用筷子啦，要是孩子太強壯，輕易把三根筷子折斷不就糗了嗎？改用電話簿吧！相信再怎麼強壯的孩子，也是沒法把交疊的電話簿拉開滴。


參考資料：

Alarcon, Hector, et al. "The enigma of the two interleaved phonebooks." arXiv preprint arXiv:1508.03290 (2015).